Kalendar

September 2021
M T W T F S S
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
27282930  

Kategorier

Active supporter of WikiPedia
Support Wikipedia

Geocaching

Profile for uwezi

Om filterkretsar och brytfrekvensen

En bra fråga som kom upp under laborationen i kursen Elektronik I igår var, vad det egentligen är som gör brytfrekvensen för ett filter så speciell. Varför letar vi just upp en punkt som ligger \SI{3}{\dB} eller en faktor \sfrac{1}{\sqrt{2}} under passbandets amplitud? Varför inte \sfrac{1}{3}, \sfrac{1}{\sqrt{5}}, \SI{5}{\dB}?

Det första svaret som även har historisk relevans är att titta på ett fast motstånd R för en signal med en amplitud V_0 och sedan med en signal vars amplitud är V_1=V_0\cdot\sfrac{1}{\sqrt{2}} och beräkna deras elektriska effekt:

    \[ P_0 = \frac{V_0^2}{R}\qquad  P_1 = \frac{V_1^2}{R} = \frac{\left(V_0\,\sfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{R} = \frac{1}{2}\,P_0 \]

Effekten har alltså sjunkit till hälften. Denna effekt kan t.ex. vara den elektriska effekten som omsätts till ljudvågor i en högtalare eller till elektromagnetiska vågor i en antenn.

Redan här en viktig observation: 20\log_{10}\left(\sfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\SI{-3.0103}{\dB}\approx\SI{-3}{\dB}

Men är det allt? Det känns fortfarande ganska villkorligt att välja just denna punkt. Om vi tittar på våra enkla RC-filtrar så finns det en till anledning att just peka ut denna punkt som en speciell frekvens: I ett lågpassfilter har vi en konstant amplitud \sfrac{v_{ut}}{v_{in}}=1 för låga frekvenser medan vi såg att amplituden sjönk med \SI{-20}{\dB} per frekvensdekad för höga frekvenser. Om vi ritar dessa två asymptoter i ett Bodediagram så finns det exakt en skärningspunkt – jo, just det: brytfrekvensen (samma sak gäller förstås även för högpassfiltret). Det ser vi om vi förstora just den del av Bodediagrammet:

Bodediagram för ett lågpassfilter - förstoring av området kring brytfrekvensen.

Bodediagram av ett lågpassfilter – förstoring av området kring brytfrekvensen.

Men är det allt? Vad mer finns vid brytfrekvensen?

Som vi också vet så har vi en fasförskjutning på \SI{+45}{\degree} (högpass) eller \SI{-45}{\degree} (lågpass) mellan ingångssignalen och utgångssignalen vid brytfrekvensen. I den komplexa notationen av j\,\omega-metoden betyder detta att real- och imaginärdelen av överföringsfunktionen A_v=\sfrac{v_{ut}}{v_{in}} har samma absolutbelopp. Förhållandet mellan real- och imaginärdelarna har jag ritat upp på de följande två sidorna för både ett lågpass- och ett högpassfilter.

Det intressanta som syns här är att imaginärdelen av överföringsfunktionen når ett minimalvärde (=\num{-0.5} för lågpassfiltret) respektive maximalvärde (=\num{+0.5} för högpassfiltret) just vid brytfrekvensen.

Ni ser att brytfrekvensen är en ganska speciell punkt för en filterkrets.

Lågpassfiltret

Lågpassfiltrar: RC och RL.

Lågpassfiltrar: RC och RL.

impedance_lowpass

Högpassfiltret

Högpassfiltrar: RC och RL.

Högpassfiltrar: RC och RL.

impedance_highpass

Leave a Reply

 

 

 

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>